Mega plano orçamental foi promulgado por Trump

[Fernando dos Aidos]

Caro Visitante,

A solução 2 e 8 não é válida.

Isso significaria que o Bruno apenas conheceria o valor da soma S=10 e não teria nenhum motivo para escolher a solução 2 e 8 em vez da 4 e 6 (ambas têm produtos que podem ser obtidos de outra forma: 2*8=4*4 e 4*6=3*8).

Abraço

Fernando dos Aidos

[Visitante]

Se as idades forem 2 e 8 também é válido!...

2+8=10 (também poderia ser 3+7 ou 4+6...)

2x8=16 (também poderia ser 4+4...)

[MarcoAntonio]

Aproveito a embalagem para referir que ainda não fechei os últimos problemas (colocarei as soluções amanhã). Ia referi-los e coloca-las este fim-de-semana mas como o Fernando dos Aidos colocou este problema eu optei por não falar dos problemas (ainda por fechar) para não roubar «espaço» ao do Fernando. Para evitar gastar mais um fim-de-semana com eles coloco as soluções amanhã...

Se alguém ainda quiser aproveitar o dia de amanhã (segunda-feira) aqui fica o link para eles...

Ai o mentiroso...

[Fernando dos Aidos]

Respostas correctas:

- Baco
- Ansas
- Pata-Hari (50%)
- Marco António
- spacefrog
- Grãoagrão

Seja S a soma das idades dos filhos de A e P o seu produto. Fica desde já implícito que as idades têm que ser inteiros iguais ou superiores a 2, pelo que me dispenso de lembrar esta condição no que se segue. S poderá assumir qualquer valor inteiro superior ou igual a 4. Vamos considerar os diversos casos para valores crescentes de S. Vejamos as 4 afirmações:

1 -> B. – Não sei…
2 -> C. – Também não sei…
3 -> B. – Espera… eu já sei as idades dos filhos do António.
4 -> C. – Eu também.

A afirmação 1 implica que S pode ser decomposto numa soma de 2 parcelas de várias maneiras.

A afirmação 2 implica que P pode ser decomposto num produto de 2 factores de várias maneiras, i.e., que os números que estamos a multiplicar não podem ser ambos primos nem um primo e o outro o seu quadrado (como 2 e 4, ou 3 e 9, por exemplo).

A afirmação 3 implica que, de entre os pares de números cuja soma é S apenas um obedece à condição anterior (i.e., os outros pares são ambos primos ou um primo e o outro o seu quadrado).

A afirmação 4 implica que, de entre os pares de números cujo produto é P, apenas um tem uma soma S que obedece à condição anterior.

Apliquemos agora o raciocínio a valores crescentes de S.

A afirmação 1 exclui os 2 primeiros valores: S=4 e S=5 (implicariam os pares (2,2) e (2,3) respectivamente).

A afirmação 2 exclui o valor S=6, pois esse valor só pode ser conseguido com os pares (2,4) e (3,3). O primeiro é constituído por um número primo e seu quadrado e o segundo por 2 números primos (pelo que, para qualquer dos casos, o produto não pode ser conseguido por mais nenhum par como já foi argumentado anteriormente).

Passamos então a S=7. Há dois pares possíveis: (2,5) e (3,4). O primeiro é constituído por 2 números primos, pelo que fica excluido. Resta o segundo. Sendo o único par admissível, este par obedece ao requerido pela afirmação 3.

Passemos à afirmação 4. Os pares cujos produtos são P=12 são (3,4) e (2,6). O primeiro tem uma soma que obedece ao requerido pela afirmação 3 como já foi demonstrado no parágrafo anteiror. O segundo tem uma soma S=6+2=8. Ora S=8 pode ser decomposto como uma soma de qualquer dos pares (2,6), (3,5) e (4,4). O par (3,5) é constituído por números primos, mas os outros 2 não. Facilmente se vê que esses dois pares obedecem ao requerido pela afirmação 2, de modo que esta soma viola o requerido pela afirmação 3 (segundo a qual apenas um par deveria estar de acordo com a afirmação 2). Assim, de entre os dois pares cujo produto é P=12, apenas o par (3,4) tem uma soma que obedece ao requerido pela afirmação 3, pelo que também obedece ao requerido pela afirmação 4.

O resultado é que o par (3,4) é uma solução.

Provar que é única é mais complicado. Exige considerar as diversas hipóteses de S até se atingirem idades que não são razoáveis. De qualquer modo o enunciado do problema indicava que havia apenas uma solução, pelo que não é necessário provar a unicidade.

Conclusão: as idades dos filhos do António são 3 anos e 4 anos.

Espero que não tenha ficado muito confuso.

Já agora, só em jeito de comentários:
- a Pata-Hari deu 2 soluções, uma das quais era a correcta (daí os 50%);
- o Marco António foi o primeiro a responder, mas cometeu um lapso (foi obviamente um lapso e não um erro);
- a resposta do Grãoagrão foi aceite com muita boa vontade (interpretar um IIIIV como o par 3 e 4 exige boa vontade );
- espero que se tenham divertido (sempre deu para o Marco também participar ).

Um abraço a todos

Fernando dos Aidos

[Grãoagrão]

eu

[Visitante]

IIIIV

[Fernando dos Aidos]

Ainda não, jotabil. Se a resposta fosse 2 e 3, a sua soma seria 5 e B saberia a resposta desde o início.

Abraço

Fernando dos Aidos

[jotabil]

os números que satisfazem a todos os condicionamentos apresentados são os de dois e três anos de idade para cada filho.
só com estes números se os três têm a certeza absoluta da idade dos filhos.

cumps

[Fernando dos Aidos]

Atenção que não se está a ver quem, de entre B, C e D, é que responde primeiro. Cada frase de B e C no diálogo representa o que eles podem deduzir com o conhecimento que têm nessa altura.

Pode-se chegar à solução sem grandes cálculos, embora para mostrar que a solução é única seja necessário escrever um pequeno programa de computador para tentar as diversas hipóteses de uma forma mais eficaz. Digamos que o David tem uma calculadora programável que lhe permite fazer os cálculos...

Jonas,

O produto não tem que ser igual à soma (e não é).

Pata,

A tua resposta está errada!!! Tenho a certeza de que te divertirias imenso...

Abraço

Fernando dos Aidos

[Fernando dos Aidos]

As idades deverão ser números inteiros superiores a 1.

Até agora temos 2 pessoas que acertaram:

- Baco
- Ansas

Abraço

Fernando dos Aidos

[Jonas]

Com nº inteiros não há produto=soma.Mas se for com nº decimais(...)

[Jonas]

Não podem ser muito velhos, pois quanto mais velhos forem mais a diferença entre a soma e o produto se acentua.Por isso não terão mais do que 10 anos.

[Pata-Hari]

Odeio estas charadas, lol! sinto-me sempre uma perfeita idiota....

[Fernando dos Aidos]

Caro jotabil,

A resposta não está correcta. Se tivessem 2 anos cada, tanto o Bruno como o Cláudio teriam logo acertado nas idades.

Abraço

Fernando dos Aidos

[jotabil]

Têm de ser gémios...naturalmente...

[jotabil]

têm dois anos cada



cumps

[Fernando dos Aidos]

Até agora apenas tenho uma resposta correcta:

- Baco

[Fernando dos Aidos]

Como o Marco não tem colocado os passatempos de fim de semana devido às férias, vou aproveitar para colocar um problema para os interessados (assim o Marco também se pode divertir ).

Não vou é dar pontos .

O António, o Bruno, o Cláudio e o David, antigos colegas no liceu, encontraram-se ao fim de muitos anos. Depois dos cumprimentos efusivos da praxe, começaram a falar da família. A pergunta sacramental era qual o número de filhos e as suas idades. O António disse:

A.- Tenho dois filhos. Quanto às idades, vou dizer a sua soma ao Bruno e o seu produto ao Cláudio. A todos, digo apenas que ambos têm mais do que 1 ano.

Debruçou-se sobre o Bruno e disse-lhe um número ao ouvido. Depois, debruçou-se sobre o Cláudio e disse-lhe outro número ao ouvido.

Então o David perguntou:

D. – Então, então… que idade têm?
B. – Não sei…
C. – Também não sei…
B. – Espera… eu já sei as idades dos filhos do António.
C. – Eu também.

O David pensou um pouco e, finalmente, disse, rindo:

D. – E eu também..

Qual foi o raciocínio do David e quais as idades dos filhos do António?

Abraço

Fernando dos Aidos

PS – Este problema implica tentar as várias possibilidades. Sugere-se que comecem por números pequenos. Há muitos anos programei este problema e a solução era única para números até muitas dezenas.