Respostas correctas:
- Baco
- Ansas
- Pata-Hari (50%)
- Marco António
- spacefrog
- Grãoagrão
Seja S a soma das idades dos filhos de A e P o seu produto. Fica desde já implícito que as idades têm que ser inteiros iguais ou superiores a 2, pelo que me dispenso de lembrar esta condição no que se segue. S poderá assumir qualquer valor inteiro superior ou igual a 4. Vamos considerar os diversos casos para valores crescentes de S. Vejamos as 4 afirmações:
1 -> B. – Não sei…
2 -> C. – Também não sei…
3 -> B. – Espera… eu já sei as idades dos filhos do António.
4 -> C. – Eu também.
A afirmação 1 implica que S pode ser decomposto numa soma de 2 parcelas de várias maneiras.
A afirmação 2 implica que P pode ser decomposto num produto de 2 factores de várias maneiras, i.e., que os números que estamos a multiplicar não podem ser ambos primos nem um primo e o outro o seu quadrado (como 2 e 4, ou 3 e 9, por exemplo).
A afirmação 3 implica que, de entre os pares de números cuja soma é S apenas um obedece à condição anterior (i.e., os outros pares são ambos primos ou um primo e o outro o seu quadrado).
A afirmação 4 implica que, de entre os pares de números cujo produto é P, apenas um tem uma soma S que obedece à condição anterior.
Apliquemos agora o raciocínio a valores crescentes de S.
A afirmação 1 exclui os 2 primeiros valores: S=4 e S=5 (implicariam os pares (2,2) e (2,3) respectivamente).
A afirmação 2 exclui o valor S=6, pois esse valor só pode ser conseguido com os pares (2,4) e (3,3). O primeiro é constituído por um número primo e seu quadrado e o segundo por 2 números primos (pelo que, para qualquer dos casos, o produto não pode ser conseguido por mais nenhum par como já foi argumentado anteriormente).
Passamos então a S=7. Há dois pares possíveis: (2,5) e (3,4). O primeiro é constituído por 2 números primos, pelo que fica excluido. Resta o segundo. Sendo o único par admissível, este par obedece ao requerido pela afirmação 3.
Passemos à afirmação 4. Os pares cujos produtos são P=12 são (3,4) e (2,6). O primeiro tem uma soma que obedece ao requerido pela afirmação 3 como já foi demonstrado no parágrafo anteiror. O segundo tem uma soma S=6+2=8. Ora S=8 pode ser decomposto como uma soma de qualquer dos pares (2,6), (3,5) e (4,4). O par (3,5) é constituído por números primos, mas os outros 2 não. Facilmente se vê que esses dois pares obedecem ao requerido pela afirmação 2, de modo que esta soma viola o requerido pela afirmação 3 (segundo a qual apenas um par deveria estar de acordo com a afirmação 2). Assim, de entre os dois pares cujo produto é P=12, apenas o par (3,4) tem uma soma que obedece ao requerido pela afirmação 3, pelo que também obedece ao requerido pela afirmação 4.
O resultado é que o par (3,4) é uma solução.
Provar que é única é mais complicado. Exige considerar as diversas hipóteses de S até se atingirem idades que não são razoáveis. De qualquer modo o enunciado do problema indicava que havia apenas uma solução, pelo que não é necessário provar a unicidade.
Conclusão: as idades dos filhos do António são 3 anos e 4 anos.
Espero que não tenha ficado muito confuso.
Já agora, só em jeito de comentários:
- a Pata-Hari deu 2 soluções, uma das quais era a correcta (daí os 50%);
- o Marco António foi o primeiro a responder, mas cometeu um lapso (foi obviamente um lapso e não um erro);
- a resposta do Grãoagrão foi aceite com muita boa vontade (interpretar um IIIIV como o par 3 e 4 exige boa vontade
);
- espero que se tenham divertido (sempre deu para o Marco também participar
).
Um abraço a todos
Fernando dos Aidos
Enviado: 6/1/2004 0:31