CALDEIRÃO DE BOLSA

Não penso que seja relevante para a solução do problema a questão de saber se o centro do quadrado pode ou não estar sobre a aresta do triângulo. Como já referi, a probabilidade de isso acontecer é zero.



O Fernadinho dos aidos também referiu a " aresta do triangulo"


cumps

Óh missil do espaço...não foste só tu que disseste essa coisa..........até pensei que era o "enestein" a argumentar.....ou talvez seja o catilina a retorquir ao cícero...no final da primeira catilinária..... na lembrança do marco antónio do triunvirato.....fiquei baralhado.....


cumps

jotabil Escreveu:Devo ter lido mal......alguém referiu "a aresta do triangulo"

Deve ser um triangulo não euclideano.....mais para o lado quantico....ehehehe


cumps....

Opppppssssss. Fui eu!

Vocês tb não perdoam nada

Space

Devo ter lido mal......alguém referiu "a aresta do triangulo"

Deve ser um triangulo não euclideano.....mais para o lado quantico....ehehehe


cumps....

Baco, por palavras é mais complicado obviamente transmitir a ideia, com os gatafunhos torna-se muito mais evidente, mas aqui vai...

Para um dado par A/B, o intervalo de valores para C que fazem com que o triangulo ABC «apanhe» o centro do quadrado, é um intervalo com a mesma extensão da distância A/B...

Assim, se tivermos L para a dimensão de cada lado e X a distância entre A e B, a probabilidade do ponto C (que sería escolhido de forma perfeitamente aleatória) formar um triangulo que incluísse o centro era portanto de P = X / 4L (até X chegar a 2L conforme foi explicado)...

Assim, se traçares um gráfico da probabilidade, obténs uma recta crescente começando em ZERO para X=0 e apontando para 0.5 qnd X-->2L (x tende para 2L). A partir de 2L temos novamente uma recta descendente a partir dos 0.5 para os ZERO (agora qnd X chega a 4L).

A probabilidade média é portanto 0.25 (o mesmo sería possível integrando a função que descreve a probabilidade ao longo do percurso).

O visitante era eu

Baco

Marco

Mais uma vez parabéns por esta tua iniciativa que nos entretém durante o fim de semana.
Parabéns também pela maneira simples como explicaste a solução do problema do triângulo e do quadrado.

Se fôr possível tu ou alguém explicarem-me melhor um ponto que não ficou claro para mim agradecia

Como a probabilidade é proporcional à distancia ( P = DIST_A_B / 4L ) e portanto evolui linearmente de zero até 0.5 e depois de 0.5 até zero de novo, concluímos que o seu valor médio é de 25% (ou 0.25 ou 1/4).

É intuitivo que probabilidade aumenta com a distância entre os dois pontos até esta ser máxima e depois volta diminuir de uma maneira simétrica. Já não é óbvio para mim que a variação dessa probabilidade esteja numa progressão linear. Há alguma maneira simples de explicar isso (sem cálculo diferencial porque não lido com integrais desde os tempos de liceu !! !!)

Absolutamente de acordo com o spacefrog. Este problema foi fascinante.

Já agora menciono o facto de a solução ser válida para qualquer polígono regular com um número par de lados ou para uma circunferência em vez do quadrado.

Abraço

Fernando dos Aidos

Já agora, aproveito para referir que o problema foi-me apresentado numa forma puramente matemática. A história da virtude fui eu que introduzi para dar um teor mais apelativo ao problema...

Foi, em minha opinião, um dos problemas mais interessantes colocados até à data.

Por estes momentos lúdicos quero deixar os meus parabéns ao MA

Space[/quote]

<b>Classificação Actual</b>
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Nick :::::::::::::::: Pontos (puzzles)
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Spacefrog ::::::::::::::::: 24 (11)

Fernando dos Aidos :::: 24 (10)

Fernando_ ::::::::::::::: 21 (11)

Baco ::::::::::::::::::::::: 14 (9)

Cram2 ::::::::::::::::::::: 12 (9)

NunoFaustino :::::::::::: 12 (7)

Grãoagrão :::::::::::::::: 11 (6)

Meteorologista ::::::::::: 4 (4)

Flying Turtle ::::::::::::::: 4 (3)

Habiplus ::::::::::::::::::: 4 (2)

Touro ::::::::::::::::::::::: 2 (2)

Patdav ::::::::::::::::::::: 2 (1)

Djovarius :::::::::::::::::: 2 (1)

Oscar C. ::::::::::::::::::: 1 (1)

E pronto, <i>puzzles</i> agora só no próximo fim de semana...

Exacto, considera que eu me refiro ao ponto 'imediatamente' antes do que se encontra a 2L e ao que se encontra 'imediatamente' a seguir, em que em ambos a probabilidade tende perigosamente para 0.5...

Pois em 2L é de 100% mas a probabilidade de B estar em 2L tende para zero, pelo que vai dar ao mesmo...

Foi precisamente dessa forma que elaborei a resposta qnd resolvi o problema mas não coloquei aqui todos os pormenores para não tornar a explicação demasiado intangível. É que este problema, sem desenhos à mistura e só por palavras, torna-se menos directo...

A probabilidade é proporcional à distância entre A e B e atinge o seu máximo quando B se encontra a 2L de A (nessa altura é de 0.5 ou 50%) e a partir de então regride pois o ponto B já se está de novo a aproximar de A (simetria).

Marco, há um pequeno erro nesta tua apresentação, se bem que ele não afecte o resultado final. Quando o ponto B se encontra a 2L de A a probabilidade é de 100% e não de 50%. A função apresenta neste ponto uma descontinuidade. Nessa altura a aresta do triangulo definido por A e B já inclui o centro do quadrado pelo que a posição do ponto C não é relevante.

cumps.

Space

Meteorologista, o que se passa é que a fronteira é infinitamente fina pelo que a probabilidade do ponto se encontrar na fronteira tende para zero no universo de soluções possíveis (intervalo de valores contínuos).

Caro Meteorologista

Não penso que seja relevante para a solução do problema a questão de saber se o centro do quadrado pode ou não estar sobre a aresta do triângulo. Como já referi, a probabilidade de isso acontecer é zero.

Neste caso, apenas faz sentido calcular a probabilidade de um ponto se localizar numa região pertencente a um espaço a 2 dimensões.

Agora, se a fronteira faz ou não parte da região e se se pretende que seja apenas um ponto ou o ponto e uma sua vizinhança que estão contidos nessa região, isso não afecta o resultado.

Abraço

Fernando dos Aidos

Agora vamos ao segundo problema. Vou tentar apresentar a solução de forma tão directa e acessível quanto possível (o que é bastante difícil, diga-se de passagem, fazê-lo por palavras... no entanto, abordado de forma correcta o problema não é tão complexo quanto parece).

O exercício que se segue é valido para qualquer ponto da periferia do quadrado.

Tomemos um pequeno ponto em qq local da periferia do quadrado (ponto A);

Agora, façamos evoluir um segundo ponto (ponto B) ao longo de todo o quadrado partindo da posição em que se encontra o primeiro ponto (A), fazendo-o percorrer toda a periferia do quadrado até chegar de novo ao ponto inicial (A);

Para cada posição que o segundo ponto (B) ocupa, vejamos qual a probabilidade do terceiro ponto (ponto C) formar um triangulo que contenha o centro do quadrado.

Se notarem já simplificamos bastante o problema, tornando-o mais acessível.

Ora, se tomarmos em atenção que a probabilidade é zero quando o ponto B se encontra em A (aconselho a fazerem uns gatafunhos para acompanharem o raciocínio) e que vai aumentando à medida que o ponto B se afasta de A, notamos que o problema é afinal até relativamente simples. A probabilidade é proporcional à distância entre A e B e atinge o seu máximo quando B se encontra a 2L de A (nessa altura é de 0.5 ou 50%) e a partir de então regride pois o ponto B já se está de novo a aproximar de A (simetria). Como a probabilidade é proporcional à distancia ( P = DIST_A_B / 4L ) e portanto evolui linearmente de zero até 0.5 e depois de 0.5 até zero de novo, concluímos que o seu valor médio é de 25% (ou 0.25 ou 1/4).

O problema era resolúvel ainda com integrais, como fizeram o spacefrog e o fernando dos aidos, mas não é necessário recorrer ao conceito de integral (embora seja perfeitamente válido) dado que podemos recorrer ao conceito de média dada a forma linear como evolui a probabilidade à medida que o ponto B vai percorrendo todo o percurso em torno do quadrado (o conceito de integral não está acessível a todos).

Este excercício é válido para qq posição que o ponto A ocupe na periferia do quadrado pelo que a probabilidade para tres pontos escolhidos de forma perfeitamente aleatória será sempre de 25%.

A probabilidade, para cada par de posições A / B é dado como disse atrás por Dist_A_B / 4xLado pois, tal como o Fernando dos Aidos referiu, a probabilidade é determinada pelo intervalo de valores que nos dão uma solução valida em função de todas as possibilidades (o intervalo 4L).

Com alguns gatafunhos a acompanhar o raciocínio torna-se bastante mais simples. Não é tão complexo quanto aparenta...

Aliás, o caminho para a solução passava mesmo por manejarmos o problema de forma simples, directa e acessível... sem complicar!

Eu estava a fala na probabilidade de triângulos (domínios em R2) conterem o centro (e uma sua vizinhança em R2) como ponto interior ou fronteiro.
Cumprimentos,
Meteorologista

Em relação ao fugitivo, a solução era o clássico «gerar panico», por exemplo, gritando «Fogo, Fogo»... Até podia pegar um pequeno fogo numa cadeira ou assim para aumentar o efeito. Depois, era fugir no meio da confusão...

Exacto, não altera o resultado, pelo que era irrelevante. A probabilidade de estar no vértice ou num dos lados do triangulo tende para zero...

Eu daqui a pouco já coloco as soluções.

Se me permitem...

Quando temos uma distribuição de probabilidade contínua, a probabilidade de se obter um certo valor é zero (embora não seja impossível ). O que é finita é a probabilidade de se obter um valor num certo intervalo.

Por exemplo, uma distribuição de probabilidade uniforme entre 0 e 1. A probabilidade de se obter um valor entre 0,3 e 0,4 é 0,1 (10%). No entanto, a probabilidade de se obter o valor 0,3 exacto é zero (podes fazer tender o valor do limite superior do intervalo para o primeiro e verás que a probabilidade tende para zero. Assim, é possível, mas tem probabilidade zero!).

Com um raciocínio idêntico se pode concluir que a probabilidade de o centro do quadrado estar contido num lado ou vértice do triângulo é zero.

Abraço

Fernando dos Aidos

Pois, já vai ser muito apertado porque daqui a pouco vou colocar a solução (estou ali ocupado com outra coisita).

Mas o centro do quadrado tinha de «ser apanhado» ou pelos lados do triangulo ou pelo seu interior e o triangulo podia não ser bem um triangulo (era para incluir os casos em que fosse um segmento de recta ou um ponto).

Caro Marco António,

Jà não há tempo mas sempre faço a pergunta.
O centro tem de ficar sobre um dos lados dos triângulos ou no interior dos triângulos?
Abraço,
Meteorologista

Update...

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O Fugitivo...

Fernando_ (1ª)
Fernando dos Aidos (resp.alternativa)
Baco (resp.alternativa)
Habiplus (1ª)
Cram2 (resp.alternativa)

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A Virtude...

Fernando dos Aidos (1ª, pont.máxima)
Baco (resp. não totalmente correcta)
Spacefrog (1ª, pont.máxima)
Cram2 (resp. não totalmente correcta)
Meteorologista (resp. não totalmente correcta)

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Update...

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O Fugitivo...

Fernando_ (1ª)
Fernando dos Aidos (resp.alternativa)
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Fernando dos Aidos (1ª, pont.máxima)
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O Fugitivo...

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A Virtude...

Fernando dos Aidos (1ª, pont.máxima)
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