CALDEIRÃO DE BOLSA

A outra abordagem, dado que a multa é pouco significativa:

Eu mudaria ou não de envelope, não com base num pressuposto matemático (de que devería mudar ou não) mas com base no valor do envelope influenciado pelas minhas expectativas e pela minha noção de valor.

O valor não segue uma regra linear e depende das expectativas de cada um. Exemplificando, se a minha expectativa (objectivo de vida) é comprar um avião particular e se este custa 100 mil contos e estou perante um envelope que diz 120 mil contos, eu não mudo!...

Neste caso eu tinha duas possibilidades, o outro envelope valer 240 mil contos ou valer 60 mil contos. Acontece que «meio» avião é coisa que não existe (ou melhor, existe mas não tem qq utilidade) e eu estou pouco interessado em ter dois aviões (ou melhor, o interesse de ter dois aviões não é o dobro do interesse de ter um avião).

Obviamente, o avião trata-se de um exemplo, mas que penso que transmite a mensagem. Isto é, pode ser para mim, mais importante evitar de perder metade do que tentar ganhar o dobro. Mas essa decisão está dependente do valor do envelope e do que esse valor representa para mim.

Se o valor é pequeno e não me realiza qq objectivo (imaginemos, 10 contos), eu troco. Para mim, ganhar 5 ou 10 cts, é indiferente. Mas 20cts já era qq coisa... Assim, nem me importaria de arriscar os 5cts (tenho estado a ignorar a multa pois é irrelevante para esta abordagem, tratando-se de uma multa pequena em percentagem).

Se o segundo envelope fosse de 5cts e eu tivesse portanto perdido na troca, essa perda não tería para mim qq significado pois o valor não é relevante para mim. No entanto, se estivesse perante um envelope de centenas de milhares de contos, eu tería interesse em manter o envelope, pois a perda de metade do valor podería ser mais significativa para mim do que a tentativa de ganhar o dobro, para os quais eu não tinha objectivos de definidos (ou seja, para mim é indiferente ganhar 1 ou 2 milhões de contos). No entanto, para o Bill Gates, este 1 ou 2 milhoes de contos representariam praticamente o papel que para mim representavam os 5 ou 10cts...

Resumindo, conforme os meus objectivos (mesmo assumindo a multa de 5%) eu mudaria ou não consoante o valor do primeiro envelope, não por razões estatísticas/matemáticas, mas por razões de noção de valor e do impacto que este tería ou não na minha qualidade de vida. Se o que eu podería ganhar fosse mais importante do que o que eu podería perder, eu mudaría. Se o que eu podería perder fosse mais importante (mesmo tratando-se de uma diferença mais pequena) do que aquilo que eu podería ganhar, eu mantería...

Caso o exemplo do avião não tenha sido totalmente esclarecedor quanto à não linearidade de noção de valor, deixo outro exemplo: imaginemos que não se tratava de um concurso e de envelopes mas de uma entrevista de emprega e de ordenados...

O meu futuro patrão, homem que gosta de colocar desafios aos outros, após propor-me um salario de 150cts colocou-me a seguinte situação:

Tens diante de ti dois envelopes, um que diz <b>metade</b> e outro que diz <b>dobro</b>. Agora, ou manténs o ordenado ou arriscas a pegar num dos envelopes...

Ao que eu respondería (hipoteticamente)
- Mantenho!

O futuro patrão perguntaría intrigado
- Não queres arriscar?... terías mais a ganhar do que a perder...

E eu
- Pois, mas acontece que eu tenho uma renda de 80cts para pagar e ainda tenho que me alimentar, vestir e distrair... 75cts seríam insuficientes para eu viver pelo que prefiro não arriscar.

Mas se o ordenado proposto inicialmente fosse de 800cts, eu provavelmente arriscava. Os 400cts seríam, neste caso, mais do que suficientes para eu viver... E os 1600cts de ordenado mensal seríam muito aliciantes e permitiriam-me atingir um nível de vida excelente. Caso me calha-se o envelope <b>metade</b>, em qq dos casos tratava-se de um valor mais do que suficiente para pagar os tais gastos...

Mais uma vez, a questão de valor é subjectiva e varía de indivíduo para indivíduo e um outro fulano podería reagir de forma diferente a qq uma destas situações...

Resumindo: o concorrente mudará ou não consoante é para ele mais importante evitar perder (parte do prémio inicial) ou tentar ganhar mais (do que o prémio inicial).

Bem, o paradoxo existe de facto, embora nestas paragens ninguém se tivesse atrapalhado com o problema...

O paradoxo é induzido pela relação «realidade» versus «percepção da realidade», fenómeno que tantas vezes se faz sentir no mercado e de modo muito próximo. Na realidade, ele (o paradoxo) pode ser realçado pelo simples facto de que mudando ligeiramente as regras do concurso, passar a ser de facto estatísticamente favorável mudar de envelope. Bastava para isso que cada envelope tivesse um valor (até aqui conforme o enunciado original) e que um deles tivesse uma palavra que dissesse <b>dobro</b> e outro dissesse <b>metade</b> (mas não necessariamente na ordem dos valores).

Assim, a escolha do envelope original determinava o valor de partida. Depois, poderíamos optar por mudar para o outro envelope que diria ou dobro, ou metade (no segundo envelope já ignoravamos o valor, contaría apenas a palavra que servia para reduzir a metade o valor do envelope original ou para dobrá-lo).

Neste caso era favorável optar por mudar (numa jogada isolada, obviamente que poderíamos sair a perder, mas se quisessemos ter a estatística do nosso lado, deveríamos mudar pois embora tivessemos as mesmas probabilidades de perder ou de ganhar, teríamos mais a ganhar do que a perder). No problema original as coisas não se passam exactamente dessa forma...

No entanto passam-se de forma muito parecida. Porque de facto, para qualquer concorrente, a estimativa para o valor do outro envelope sería sempre superior a valor tirado para o primeiro envelope, isto porque o concorrente não sabe qual o par de valores em jogo. Quer ele tirasse o envelope maior, quer ele tirasse o envelope menor, ele estimaria o valor esperado para o outro envelope como sendo 1.25x o valor do primeiro...

E note-se, este cálculo não está errado, na perspectiva do concorrente, pois temos de nos lembrar que ele não está na posse de todos os dados. O que se passa é que se ele se basear no valor que sai no primeiro envelope para fazer uma estimativa para o segundo sem saber se esse envelope se trata do maior ou do menor dos dois, ele irá estimar o valor do outro por defeito (caso pegue inicialmente no menor) e por excesso (caso pegue inicialmente no maior) e neste último caso com um erro bem superior (é fácil realizar estes cálculos e constatar que o erro da estimativa é maior nos casos em que pega no envelope maior). Em qq dos casos, a estimativa estaría sempre acima do envelope inicial (quer pega-se num ou noutro) enquanto que o valor esperado por exemplo para o apresentador, é a média dos dois (ele sabe que em média os concorrentes ganhos o valor médio entre os dois envelopes).

Digamos que o concorrente só tem a perder em basear-se no valor do envelope para tomar a sua decisão. A informação do valor que consta num dos envelopes não trás, curiosamente, para ele qualquer mais valia...
Se ele estiver consciente das regras do concurso tem mais a ganhar em análisá-lo no abstracto do que basear-se nos dados de um dos envelopes...

É caso para concluir: <b>o acaso não premeia quem faz estimativas (mais) optimistas...</b>

Este problema pode ser transportado para o mercado a diversos níveis:

- Pela «velha» questão dos 50/50% - o mercado ou sobe ou desce, o que tantas vezes leva os investidores a concluir que bastará estipular um <i>target</i> superior à perda (stop) para ter o investimento controlado;

- Pelo uso e manipulação que se faz da informação - tantas vezes a informação, nos mercados, trás qq mais valia sendo o excesso de informação mais prejudicial do que benéfico; de nada vale a informação se for incompleta, insuficiente, de má qualidade ou <b>irrelevante</b> para a nossa estratégia;

- Pela apetência ao risco: existe uma outra perspectiva completamente diferente (nada matemática e muito subjectiva) que só ela daría para um post completo que é a questão da apetência ao risco e do valor que se dá à perda, ao ganho e à relação entre a perda e o ganho.

Agora sim, uma resposta mais dentro do que eu esperava/desejava...

Mais de seguida colocarei a questão um pouco mais desenvolvida. A questão tende a aparecer naturalmente (no local de onde retirei o problema, existia uma enorme - mesmo enorme e bastante aprofundada - discussão em torno dele). Como aqui ele não surgiu, mas tem facetas bastante interessantes eu desenvolverei um pouco a questão, até porque como referi, está na minha opinião intimamente ligada ao mercado de capitais...

Acho estes problemas, que envolvem probabilidades, muito interessantes, pois é um assunto onde os paradoxos são frequentes.

Neste caso, o que me parece que induz em erro é o cálculo efectuado:

Colocado de outra forma, o valor esperado para o prémio, se optar por mudar, é de:

50% x 50cts + 50% x 200cts - 5% x 100cts = 120cts

Se repetir o processo várias vezes, a vantagem está assim claramente do lado da mudança. É vantajoso mudar

O conceito de probabilidade implica a possibilidade teórica de repetir muitas vezes a experiência, sendo a probabilidade de um evento o limite para que tende a percentagem de acontecimentos favoráveis relativamente ao número total de experiências, quando este número tende para infinito.

No entanto, a experiência tem que ser sempre realizada da mesma forma. Os valores dentro dos envelopes têm que ser sempre os mesmos (100 v 50 ou 200 v 100 mas não os dois).

Ora não é assim que as contas estão feitas.

Neste caso, para fazer as contas como estão indicadas, o primeiro envelope teria que ter 100cts em todos os eventos. Mas isto corresponderia a um enunciado diferente. Estas contas descrevem a seguinte situação:

"Ao concorrente é oferecida a quantia de 100cts (sempre). Se quiser recusar, ser-lhe-á oferecida a quantia de 45cts ou 195cts com igual probabilidade (por exemplo através de uma escolha entre 2 envelopes, ou de um processo de "moeda ao ar"."

Ora este problema é diferente do que foi enunciado. A principal diferença é que aqui nós sabemos que temos 2 hipóteses: 100 v 50 ou 200 v 100. Ao aceitar os 100cts, estamos a aceitar o valor máximo do par de valor inferior ou o valor mínimo do par de valor superior. Caso contrário, estamos a aceitar o valor máximo do par de valor superior ou o valor mínimo do par de valor inferior.

Aqui já é vantajoso mudar!

Trata-se de problemas diferentes.

Ao reler o post, não tenho a certeza de ter sido muito claro... Espero que sim

Mas foi interessante ver que ninguém escolheu a resposta errada.

Um abraço

Fernando dos Aidos

Ehehe...

Eu volto a frizar que os concorrentes não têm qq pista sobre os valores constantes nos envelopes (o par 50/100cts é apenas um exemplo, mas os concorrentes não sabem se os valores são esses ou qualquer outro).

Sabem apenas que, depois de constatarem que o valor do envelope é <b>X</b>... o valor do outro poderá ser <b>X/2</b> ou <b>2X</b> dado que essa é a única garantia que têm, um envelope vale o dobro do outro.

Já mais do que um apresentou os cálculos correctos.

No entanto, há outra perspectiva que eu pretendia ver abordado, pois é ela que mais relação tem com os mercados financeiros e é ela que está na base do paradoxo. Passo a explicar:

Quando tomo um envelope, tenho 50% de probabilidades do outro envelope ser o maior e outros 50% de probabilidade do outro ser o menor (dado que a minha probabilidade de tomar o menor ou o maior, respectivamente, na primeira escolha, é naturalmente de 50%).

Assim, com a troca, tenho 50% de probabilidade de ganhar mais 0.95X (em que X é o valor do primeiro envelope) e outros 50% de perder 0.45X, sendo que, numa perspectiva de lucro versus risco, parece mais interessante «arriscar» na troca numa jogada isolada.

Obviamente que numa jogada isolada estamos ao sabor do acaso (se somos sortudos ou azarados, como alguém referiu), mas o que se pretende saber é qual a estratégia mais interessante, pois se não sabemos o que irá a acontecer, deverá existir uma estratégia mais apropriada conforme a perspectiva do concorrente e a sua apetência ao risco...

Caro Marco,

Para quem não muda, o prémio expectável ao fim de n vezes é:
50% x 50cts + 50% x 100cts = 75cts.

Par que muda é a seguinte:

100cts-50%*50Cts*.05= 98.75cts

Pois como é lógico, quando sai o prémio de 50Cts, ele escolhe automaticamente o outro envelope , assim, apenas conta para o cálculo do valor expectável o custo dos 5%.



Um abraço
kopas

A probabilidade de acertar no prémio maior à primeira é igual à probabilidade de acertar no prémio maior à segunda. Só que se for à segunda perdemos 5%. Logo, compensa manter a escolha.

Esta discussão não é um quebra cabeças
Mas é interessante!

Se eu tiver só uma hipótese, então tiro um envelope e sou o feliz possuidor de X.
Se quiser mudar, "sou corretado em" 5%*X, podendo no final ficar com 2*X-5%*X ou então com X/2-5%*X .

Claro que isto não é conclusivo! Posso ser uma pessoa de azar e ter escolhido o envelope mais pequeno primeiro, logo é mais vantajoso mudar ou vice versa.

Mas se se repetir o evento, então o que acontece é:

existem várias oportunidades e como uma é sempre o dobro da outra vou definir um envelope como X e outro como 2X.

Ora como tenho 50% de hipóteses, em vária "jogadas" tirarei metade das vezes X e metade 2X, logo sendo N o numero de jogadas (e par para as contas serem mais certas) fico com um total de:
(N/2)*X+(N/2)*2X

No caso de troca, acrescento a "comissão de troca", ficando:
(N/2)*X+(N/2)*2X - (N/2)*5%*X - (N/2)*5%*2X

Parece-me que no longo prazo, lucro se não mexer na aposta!

Um grande abraço

Em relação à MP, ainda não me chegou (mas pode estar a caminho... )

Fernando dos Aidos Escreveu:...
Mantenho o que disse, mas a argumentação é que, se o primeiro envelope é sempre de 100cts...

Não é e eu não tenho qq garantia sobre qual o valor. O exemplo dos 100cts é um exemplo para um ocorrência (até porque à segunda eu já sabería qual o par de valores em questão).

Conforme digo no enunciado, o concorrente não tem qq pista sobre o par de valores em jogo.

Assim, joga uma vez e surge-lhe o valor de 100cts.

Existe, para ele, 50% de probabilidade desse ser o maior (e portanto o outro valer 50cts) e outros 50% de probabilidade desse ser o menor (e portanto o outro valer 200cts).

Da segunda vez, saí-lhe 80cts... e o problema mantém-se (o outro ou vale 40 ou vale 160cts). Ele não tem qq pista...

E pode ter apenas uma única oportunidade de jogar e portanto terá de escolher o que é melhor, para essa única jogada.

Marco,

Enviei-te uma MP, mas deu erro. Recebeste-a?

Abraço

Fernando dos Aidos

Quería só acrescentar que nada os diz que o concorrente possa ter várias oportunidades para jogar embora eu tenha usado esse artifício para montar o paradoxo.

Ele pode ter uma única vez para jogar e terá de decidir conforme ache que é (mais) vantajoso mudar ou não mudar.

Se ele jogar uma única vez e pegar num envelope que diz 100.000€... ele sabe que o outro poderá valer ou 50.000€ ou 200.000€ com igual probabilidade.

Terá mais a ganhar, se o outro for o maior, do que o que terá a perder se o outro for o menor. Quanto à ligação com o mercado, depois falamos...

Caro Marco,

Reeio bem que me tenha precipitado na argumentação (é o que dá querer ser muito rapido nas respostas). As minhas contas não fazem sentido.

Mantenho o que disse, mas a argumentação é que, se o primeiro envelope é sempre de 100cts, não estás a repetir sempre a mesma situação. Estás a misturar 2 situações diferentes: uma em que os envelopes contêm 50cts e 100cts e outra em que os envelopes contêm 100cts e 200cts.

Assim, não podes calcular o valor expectável como fizeste. Se consideras o caso de 50cts e 100cts teríamos:

o que não muda,

50% x 50cts + 50% x 100cts = 75cts.

O que muda

50% x 50cts + 50% x 100cts - 5% x 50% x 50cts - 5% x 50% x 100cts = 71.25cts.

Penso que agora está certo (espero eu...).

Um abraço

Fernando dos Aidos

Ehehe... cts eram os «antiguinhos»... contos.


Enfim, manias... lol

Qnt à tua resposta, não estou convencido... (podemos falar em privado por MP do porquê q é para dar hipotese a outros de darem outras respostas).

Caro Marco,

Eu diria que o segundo argumento, segundo o qual é preferível não mudar, está correcto.

No primeiro argumento,

Colocado de outra forma, o valor esperado para o prémio, se optar por mudar, é de:

50% x 50cts + 50% x 200cts - 5% x 100cts = 120cts

Se repetir o processo várias vezes, a vantagem está assim claramente do lado da mudança. É vantajoso mudar

A repetição do processo tal como está calculada, significa que o primeiro envelope tem sempre 100cts, tendo o segundo, por vezes, 50cts e, outras vezes, 200cts.

O valor expectável para quem não muda é

50% x 50cts + 50% x 200cts = 125cts > 120cts,

verificando-se assim que, de facto, é preferível não mudar.

Um abraço

Fernando dos Aidos

PS - Já agora, porque achas que este tipo de raciocínio tem a ver com "trading"?

PS (2) - Porque motivo colocaste o problema em cêntimos??? Não seria melhor em euros??? hehehe "just kidding".

Encontrei este problema noutro local se bem que não exactamente na forma que aqui vou apresentar...

Um concurso consistia em escolher um de dois envelopes em que um continha um prémio monetário que era o dobro do valor do outro envelope (por exemplo, um continua 100cts de prémio e o outro 200cts);

O concorrente não tem qq pista sobre os valores que se encontram nos envelopes a não ser a regra de que um é o dobro do outro;

Depois de escolher um envelope e de constatar o seu conteúdo, o apresentador dá a hipótese ao concorrente de mudar para o outro envelope, pagando uma multa de 5% do valor do primeiro envelope (exemplo: escolheu o de 100, se o outro vale 50 e ele muda, então ganha 45; se o outro vale 200 então ganha 195... ou seja, ao mudar, ganha o prémio desse segundo envelope subtraído da multa de 5% do valor que se encontrava no envelope escolhido em primeiro lugar).


A questão original, consitia em saber se era vantajoso mudar de envelope ou não mudar.

No entanto, eu formulo a questão sobre a forma de um paradoxo:


Se eu escolher um envelope, fico a saber o seu valor (por exemplo, 100) e sabendo que a probabilidade do outro envelope ser o maior é igual à de ser o menor (tanto poderá valer 50 como 200) então é preferível mudar dado que se eu mudar e ganhar (195, ganhando mais 95 do que inicialmente) tenho mais a ganhar do que se mudar e perder (45, perdendo de ganhar 55 face ao que iria ganhar inicialmente)...

Colocado de outra forma, o valor esperado para o prémio, se optar por mudar, é de:

50% x 50cts + 50% x 200cts - 5% x 100cts = 120cts

Se repetir o processo várias vezes, a vantagem está assim claramente do lado da mudança. É vantajoso mudar



Repetindo o processo com um indivíduo que opta sempre por mudar e outro indivíduo que opta sempre por não mudar (e nunca paga multas) e dado que cada um deles tem iguais probabilidades de pegar no maior ou no menor, verificou-se que pegaram ao fim de <i>xis</i> vezes o mesmo número de vezes no maior e o mesmo número de vezes no menor (por exemplo, escolheram 10 vezes o maior e 10 vezes o menor, cada um dos concorrentes). Obviamente, o que não mudou, recebeu todos os prémios na totalidade enquanto que o que mudou recebeu todos os prémios diminuídos de uma multa de 5% da escolha inicial (10 vezes perdeu face ao outro 5% do valor do envelope menor e das outras 10 vezes perdeu 5% do valor do envelope maior). Assim, comparando a performance dos dois concorrentes concluí-se que era vantajoso não mudar

Como explicar este paradoxo

<i> Uma nota final: este problema tem algumas nuances que muito têm a ver com o investimento em Bolsa como certamente notarão...</i>