CALDEIRÃO DE BOLSA

Um abraço

e está..........CORRECTO!
É engraçado que com as coisas assim matematicamente
demonstradas não há espaço para qq dúvida e não tem nada que saber.
Parabéns também ao MA ( evidentemente).

Escorpião Escreveu:a sua solução em vez de dar exemplos continuamente. Em que regras se baseia?

As regras são as regras básicas da lógica bolleana.
(vê onde enumero todas as hipoteses possíveis e de igual probabilidade, eliminando em seguida as que são impossíveis dados os dados do problema).

Se tiveres dúvidas, experimenta com lançamento de moedas ao ar (experimentando primeiro cada uma delas para assegurares que a probabilidade independente de cada uma delas de sair cara ou coroa em cada lançamento é de 50%).

Não, MarcoAntónio este exemplo que eu dei era uma analogia ao problema dos rapazes e das raparigas mas sem as confusões dos sexos e das idades.

Ok, só pra ver se eu percebi:

Temos três caixas que podem ou não ter prémio.
1 2 3
Abrimos uma caixa e tem prémio.

p ? ?

Entretanto dizem-nos que pelo menos 1 das outras caixas não tem prémio. Logo as hipoteses são:

p p n
p n p
p n n


Logo existe a probabilidade de 2/3 de haver prémio (rapaz) nas outras duas.
Será isto MA?

Desculpa a maçada mas será isto MA?

pr0fit

...ao dizer que o primeiro filho só está lá para complicar.

A pergunta podia ser feita da seguinte maneira:

A probabilidade de se ter um filho H ou M é a mesma.

Se eu fizer a pergunta "Qual o sexo dos seus filhos?" a uma infinidade de casais que tiveram dois filhos e em que pelo menos um é rapariga, 66.6% das vezes vão responder H e M e só 33% das vezes respondem M M.

Cumprimentos

Eu já provei num post acima. Já agora pedia ao MA para dar também a sua opinião sobre a minha resolução.

Um abraço

Anonymous Escreveu:Ok, só pra ver se eu percebi:

Temos três caixas que podem ou não ter prémio.
1 2 3
Abrimos uma caixa e tem prémio.

p ? ?

Entretanto dizem-nos que pelo menos 1 das outras caixas não tem prémio. Logo as hipoteses são:

p p n
p n p
p n n


Logo existe a probabilidade de 2/3 de haver prémio (rapaz) nas outras duas.
Será isto MA?

Não, não é bem assim.

O problema dos prémios é o seguinte:

3 caixas, apenas uma contém prémio.

Escolhemos uma caixa ao acaso. O apresentador escolhe uma das outras que ele sabe seguramente que não tem prémio.

Nessa altura dá-nos a hipótese de manter a escolha inicial ou saltar para a outra caixa que sobrou.

As probabilidades são as mesmas ou são diferentes?
Qual é a probabilidade de a caixa que escolhemos inicialmente ter prémio? Qual é a probabilidade de a outra caixa ter prémio?

a sua solução em vez de dar exemplos continuamente. Em que regras se baseia?

Não, sun...

Ter uma filha no segundo e uma filha no terceiro é a mesmíssimo coisa que ter uma filha no segundo e uma filha no terceiro.

O que não é a mesma coisa é ter só uma filha e ser a segunda ou ter só uma filha e ser a terceira.

Imagine o o caso dos três irmãos. Em dois deles pega na única filha que tem, no outro pega numa das filhas indiscriminadamente.

Mas pode perguntar, mas então se ele tem duas filhas eu não posso pegar na outra?

Pode mas não pode escolher duas vezes na mesma casa, eu não disse que visitava um deles duas vezes. Ou visita todos duas vezes ou visita todos uma vez (pois cada um dos irmãos vale o mesmo em termos probabilisticos).

Se quiser escolher a outra então faz uma nova ronda pelos três. Na segunda visita escolhe então a outra...

Mas nos outros dois irmãos tem de voltar a escolher a única rapariga. Não tem escolha!

O que não pode é visitar um deles duas vezes pois isso era colocá-lo em vantagem e adulterar as probabilidades.

É assim, se se distingue entre o filho A ser rapaz e o filho B ser rapariga de o filho A ser rapariga e o filho B ser rapaz, porque são duas entidades diferentes, o A e o B são duas pessoas diferentes:

MA disse:

"Escorpião, volto a dizer

M F M e M M F

não são a mesma coisa.

Cada filho é uma entidade. Temos o filho A (que vimos) e temos o filho B e C que não vimos.

Pode ser o filho B a ser a menina.
Pode ser o filho C a ser a menina.
Podem ser ambos os filhos B e C meninas. "


Sendo assim, também se tem que distinguir quando temos duas raparigas, a A ser a mais velha, ou a loura ou o que se quiser, e ser a B a mais nova, a morena ou o que se quiser.

E assim temos

Pessoas: A B

1 m f
2 f m
3 f f
4 f f

E assim temos os 50% de probabilidades e pronto.

Se temos duas entidades diferentes, e se mf é diferente de fm, porque eles são diferentes, porque são pessoas diferentes, então também as duas raparigas, quando é esse o caso, têm de ser diferentes entre elas e daí surgirem duas vezes.

Aqui reside a questão, e não outras hipoteses que têm surgido.

Era eu, Gil.

..do problema. Para se compreender melhor.

O enunciado fala em três filhos mas só dois são realmente importantes no cálculo da probabilidade.

A questão: "Qual é a probabilidade de dois dos três filhos serem rapazes", dado que sabemos que um dos filhos é um rapaz, pode ser reescrita como: "Qual a probabilidade de um dos dois filhos restantes ser um rapaz".

Esquecendo portanto o primeiro rapaz, ficamos com dois filhos e a questão A="Qual a probabilidade de um dos dois filhos ser um rapaz". Mas existe uma condicionante: B="Pelo menos um dos dois filhos é uma menina".

A questão que se coloca torna-se: "Qual a probabilidade de um dos dois filhos ser um rapaz, dado que pelo menos um dos dois filhos é uma menina"

Como todos demostraram graficamente, eu vou pelo teorema da probabilidade condicionada. Para ajudar coloco o auxiliar com todas as possibilidades de um par de filhos:

F1 - F2
-------
1 M - F
2 F - M
3 F - F
4 M - M

Para já a probabilidade de um (e um só) dos dois filhos ser rapaz(sem mais nada) são as linhas 1 e 2.

P(A)=2/4=1/2

Seguidamente, a probabilidade de pelo menos um dos filhos ser menina são as linhas 1,2 e 4.

P(B)= 3/4

Agora a probabilidade de um e um só ser rapaz E pelo menos um ser menina que é novamente as linhas 1 e 2.

P(A^B) (leia-se Probabilidade da intersecção)

P(A^B)=2/4=1/2

Teorema da probabilidade condicionada (um subconjunto do teorema de Bayes, onde P(A|B) significa probabilidade de A contecer dado B):

P(A|B)=P(A^B)/P(B) =(1/2)/(3/4)= (1/2)*(4/3)=2/3

Espero ter contrinuido para lançar a confusão... lol

Um abraço

Ok, só pra ver se eu percebi:

Temos três caixas que podem ou não ter prémio.
1 2 3
Abrimos uma caixa e tem prémio.

p ? ?

Entretanto dizem-nos que pelo menos 1 das outras caixas não tem prémio. Logo as hipoteses são:

p p n
p n p
p n n


Logo existe a probabilidade de 2/3 de haver prémio (rapaz) nas outras duas.
Será isto MA?

Escorpião, volto a dizer

M F M e M M F

não são a mesma coisa.

Cada filho é uma entidade. Temos o filho A (que vimos) e temos o filho B e C que não vimos.

Pode ser o filho B a ser a menina.
Pode ser o filho C a ser a menina.
Podem ser ambos os filhos B e C meninas.

Cada filho é uma entidade e não podemos dizer que é indiferente ser a menina a mais nova ou a mais velha.


Imagine três irmãos gémeos que casaram no mesmo dia e tiveram ambos três filhos ao mesmo tempo.

O primeiro foi um rapaz.

Acrescento que todos tiveram mais pelo menos uma menina entre o segundo e o terceiro filho.

Um teve um rapaz no segundo e uma rapariga no terceiro
Um teve uma rapariga no segundo e um rapaz no terceiro
Um teve uma rapartiga no segundo e uma rapariga no terceiro

Todos obedecem às condições do problema!


Agora eu digo, em cada um deles pegue numa menina desses dois outros filhos. Para cada um dos casos diga de que que sexo é o <b>outro filho</b>?

N chateio mais. Vou ao sotão buscar a sebenta de Teoria das Probabilidades para ter certezas absolutas. Agora quero ter a certeza da solução...

M M F IGUAL A M F M

Escorpião Escreveu:maçador, pois não é esse o meu objectivo, digo-lhe que:

1º o enunciado conforme está dá uma probabilidade de 50% de o terceiro filho ser rapaz ou rapariga conforme o Ulisses diz inicialmente.

Dados do problema apresentado:

M F ? ( Ou seja, um filho é de certeza rapaz, outro é de certeza rapariga, e um terceiro poderá ser rapaz ou rapariga. Este terceiro filho não está condicionado a nada. É um evento independente)


2º A única maneira de a probabilidade ser 2/3 de termos dois rapazes e 1/3 de termos duas raparigas, conforme advoga o MA, era se no enunciado tivesse dito assim:

O primeiro filho é rapaz. Qual a probabilidade de, sabendo que existem mais dois filhos, termos no conjunto final dos três filhos dois rapazes e duas raparigas?
Solução:

M ? ? Isto implica que o universo das hipóteses seriam neste caso:

M M M
M F M
M F F

Ou seja, a tal probabilidade que o MA defende.


CONCLUSÃO FINAL:

O Problema está que o MA condiciona eventos completamente independentes. O sexo de um dos filhos não está dependente do sexo dos outros filhos.

Escorpião, receio que ainda não percebeu o problema.

O rapaz e a rapariga que estão na parte final do texto <b>não estão</b> nas mesmas condições. Para saber em que condições estão terá de ler o que está para trás (e não poderá ignorar a informação que lá está).

E tem razão, isto começa a tornar-se maçador, pois já me repeti inúmeras vezes e a generalidade continua a laborar no mesmo erro. Simplesmente porque estão a ignorar informação...

O sexo de um filho não está dependente do sexo de outro filho. O que está dependente é o filho que de estou a falar. Quando digo que há uma rapariga não me estou a referir sempre ao mesmo filho!... Quando digo que há um rapaz refiro-me sempre ao mesmo (ao que vi).

Se a rapariga que sei que existe não é sempre a mesma, o filho que sobra, o <b>outro</b> de quem eu quero saber o sexo também não é sempre o mesmo.

A isto chama-se probabilidades condicionadas.

Se conhece o problema dos prémios e das três portas imagine que eu sou o apresentador. Nos casos em que há duas meninas, eu posso estar a referir-me a qualquer uma indiscriminadamente e a que sobra é uma menina. Nos casos em que apenas há uma menina, a menina que eu digo que existe ora é a primeira ora é a segunda (menina) e em ambos os casos o outro é um menino.

Houve aliás quem respondesse certo, assim de cabeça o SirPatrickBateman, o Cram2 e mais um ou outro que não me recordo...

O problema não é de todo evidente. Isso já eu sabia se não o tinha colocado aqui. Vocês nem imaginam a polémica que suscitou o tal concurso das portas nos States...

Pois, é isso mesmo.

O que eu queria dizer era isto:

Sabemos que existe um rapaz e que pelo menos um dois outros dois filhos é uma rapariga

temos 3 filhos: A B C

Se sabemos que um deles é rapaz (p ex o A, mas tanto podia ser o B ou o C) ficamos com estas hipoteses

A B C
H M M
H H M
H M H

Se o A é Homem e um dos outros dois é Mulher a probabilidade de os outros dois serem de sexos diferentes é maior do que serem de sexos iguais

Alexandre, vou elaborar um exemplo idêntico para essa das casas.

Imaginemos que vivemos numa rua em que toda a gente tem 3 filhos e em que quem tem pelo menos uma menina vive numa casa pintada de vermelho (é o correspondente ao bilhete no frigorífico)...

Assim, chegamos à porta de uma dessas casas e tocamos à porta. Aparece-nos um rapaz!

A cor da casa (diz-nos que há pelo menos uma rapariga). O rapaz que nos apareceu à porta faz-nos saber que há um rapaz.

Mas as condições são diferentes. Porque sabemos que o rapaz é aquele que está à nossa frente. Quanto à rapariga que tem de existir (pela cor da casa) fica reduzida aos dois sobrantes...

São informações distintas em condições distintas.

O problema seria diferente se não tivessemos sido atendidos por um rapaz (isso alterava completamente as probabilidades)!

A sequência e as condições dos acontecimentos são essenciais e alteram as probabilidades.

Se isto vos faz confusão pensem por exemplo nas apostas ao vivo da Globet. À medida que o jogo decorre as probabilidades vão-se alterando. Porquê?

Porque ora aparece um rapaz à porta (golo numa baliza), ora aparece uma rapariga (golo na outra baliza)... É a informação que vamos recebendo e a ordem porque recebemos a informação é essencial para a evolução das probabilidades.


Temos de laborar com base na informação que temos!

Enfim, podemos imaginar quantos exemplos quisermos, desde que mantenhamos as condições as probabilidades são as mesmas. Se alterarmos ainda que subtilmente a informação que é dada, aí as probabilidades podem alterar-se completamente...

maçador, pois não é esse o meu objectivo, digo-lhe que:

1º o enunciado conforme está dá uma probabilidade de 50% de o terceiro filho ser rapaz ou rapariga conforme o Ulisses diz inicialmente.

Dados do problema apresentado:

M F ? ( Ou seja, um filho é de certeza rapaz, outro é de certeza rapariga, e um terceiro poderá ser rapaz ou rapariga. Este terceiro filho não está condicionado a nada. É um evento independente)


2º A única maneira de a probabilidade ser 2/3 de termos dois rapazes e 1/3 de termos duas raparigas, conforme advoga o MA, era se no enunciado tivesse dito assim:

O primeiro filho é rapaz. Qual a probabilidade de, sabendo que existem mais dois filhos, termos no conjunto final dos três filhos dois rapazes e duas raparigas?
Solução:

M ? ? Isto implica que o universo das hipóteses seriam neste caso:

M M M
M F M
M F F

Ou seja, a tal probabilidade que o MA defende.


CONCLUSÃO FINAL:

O Problema está que o MA condiciona eventos completamente independentes. O sexo de um dos filhos não está dependente do sexo dos outros filhos.

Alto! Fiz mal as contas. Agora fiquei confuso...!!

Ulisses Pereira Escreveu:Marco,

No meu ponto de vista, o problema do enunciado está aqui:

<i>Bem, nesta altura, já saberá que dos três filhos que o seu colega tem pelo menos:

Um que é rapaz.

Um que é rapariga.

O outro pode ser rapaz ou rapariga...
</i>

Não, Ulisses, o problema está em as pessoas julgarem que o rapaz e a rapariga estão na mesma condição, quando não estão!... Quem tiver dúvidas basta ler o que está para trás que é onde está esclarecido de que forma eu sei uma coisa e outra... Não se pode ignorar o texto que está para trás pois este é essencial. É <b>informação</b> que não pode ser nem esquecida nem ignorada!

Eu volto a explicar:

O rapaz...

De que rapaz estou a falar?
Podemos especificar claramente, foi visto e identificado, é o primeiro!

A rapariga...
De que rapariga estou a falar?
Não podemos especificar, não foi vista sequer, pode ser a segunda ou a terceira, não sabemos...

O outro que falta saber...
Quem é?
Mais uma vez, não podemos especificar, pode ser respectivamente a terceira ou a segunda.

É como o caso das fotografias em que se saca de uma fotografia de uma menina. Bem, quem tiver uma única menina terá de sacar a fotografia da única menina que tem. De que sexo é o <b>outro</b>?

A maior parte das vezes vai ser rapaz, apesar de haver menos rapazes na sala!


O problema sería diferente se o que estivesse para trás (informação que a maior parte está a ignorar) fosse diferente. Mas não é e tem de ser usada. Ou melhor... Quem não a usar vai acertar menos vezes do que as que podia.

Isto é como os mercados. Podemos dizer que o mercado tanto pode subir ou descer, com igual probabilidade, se quisermos ignorar a informação que temos diante dos olhos...

É claro, se ignorarmos a informação e partirmos do princípio que é indiferente, então vamos acertar menos vezes do que as que podíamos acertar.

<b>Informação</b> é a palavra chave que está aqui em questão. Quem a ignorar vai tirar conclusões erradas...

Volto a frizar, o rapaz e a rapariga referidos na parte final do texto <b>não estão</b> nas mesmas condições. Não são o mesmo tipo de informação. Como foi descoberto uma coisa e outra está claramente especificado no enunciado.

<i>
PS: Este problema é identico ao das caixas, quando só há uma rapariga entre as duas a situação é identica ao apresentador que só pode escolher uma porta para eliminar e portanto a <b>outra</b> tem seguramente o prémio (o <b>outro</b> é seguramente um rapaz).
</i>

Boas a todos.

Tenho seguido atentamente a questão colocada e sem dúvida que o MarcoAntónio tem razão.

Vou tentar por o problema de outra maneira a ver se a coisa fica mais perceptível.

Imaginemos que temos uma rua com infinitas casas e em cada casa existem 3 filhos (a probabilidade de um filho ser Homem ou Mulher é 50%).

Assim existem 8 hipoteses:

H-H-H
H-H-M
H-M-H
H-M-M
M-H-H
M-H-M
M-M-H
M-M-M


Agora dizem-nos: tu vais só às casas que satisfação a condição de um dos filhos ser Homem e existir pelo menos uma Mulher (o que exclui as hipoteses H-H-H e M-M-M) e tentas adivinhar qual o sexo do terceiro( ou qual o sexo dos três). Se a tua resposta for sempre H (ou se disseres que existem 2 H e 1 M) acertas em 66.6% das vezes.

Condicionando as casas para que satisfação a condição atrás enunciada ficamos com:

H-H-M (2H e 1M)
H-M-H (2H e 1M)
H-M-M (1H e 2M)
M-H-H (2H e 1M)
M-H-M (2H e 1M)
M-M-H (1H e 2M)

4 casos em que existem 2H e 1M
2 casos em que existem 1H e 2M

Cumprimentos a todos,

Alexandre Gonçalves

Marco,

No meu ponto de vista, o problema do enunciado está aqui:

Bem, nesta altura, já saberá que dos três filhos que o seu colega tem pelo menos:

Um que é rapaz.

Um que é rapariga.

O outro pode ser rapaz ou rapariga...


Agora a questão que se coloca é?... O que é mais provável? Ser rapaz ou ser rapariga?... A probabilidade é igual (50%/50%) ou diferente (mais provável uma coisa do que outra)?...

Estamos a falar de um terceiro filho, quando o que - a deduzir pelas tuas respostas ao problema - deveríamos querer falar era do segundo e terceiro filho.

Porque se assumes que um é rapaz e o outro é rapariga (tal qual está no enunciado), as % para o 3º são de 50%.

Ou seja, se perguntasses quais as probabilidades de ser uma rapariga ou rapaz no 2º filho, seria os tais 66 contra 33%. Mas falando no 3º filho e assumindo que o 2º é uma menina , a questão jã é diferente.

Um abraço,
Ulisses